Comment modéliser les épidémies ? (Le modèle SIR) 😷 | Interstices 🔵

[Musique] L'épidémie de COVID19 a bouleversé nos vies, rendant la situation compliquée pour

la majorité de la population mondiale. Nous avons été submergés par un flot

continu d'information, et de nouveaux termes sont venus envahir notre quotidien. Pour

mieux comprendre, Interstices vous propose de zoomer sur un modèle pionnier en termes

de propagation d'épidémie : le modèle S.I.R., exprimé pour la première fois en 1927.

Avant d'entrer dans les détails de ce modèle, prenons le temps de rappeler qu'une modélisation

consiste à traduire la réalité sous forme d'équations, et de ce fait et donc simplifier.

Le modèle SIR présente la particularité d'être un modèle à compartiments, c'est-à-dire

que l'ensemble de la population, noté P, est divisé dans 3 compartiments : le compartiment

S, c'est la population saine, c'est-à-dire celle qui peut tomber malade, qui est "susceptible" ; le

compartiment I, qui comprend les individus "infectés" et contagieux, le compartiment R,

ce sont les personnes qui se sont rétablies de leur infection et qui sont maintenant "résistantes".

Pour la suite, nous allons utiliser une petite ville de 100.000 habitants.

Celle-ci est frappée par une terrible épidémie issue d'une maladie encore inconnue. Regardons

comment se déploie cette maladie grâce à nos trois compartiments. Par exemple, au début de l'épidémie

tous les individus sont sains, sauf le "patient 0" ; personne n'est encore résistant car notre

mystérieuse maladie est inconnue. Au cours du temps, les individus vont changer de compartiment et

passer de "Sain" à "Infecté" puis à "Rétabli". Dans ce modèle on fait l’hypothèse que l'on ne peut aller

que dans ce sens. Ainsi, une personne résistante ne retournera pas dans le compartiment S.

Pour simplifier, le modèle ne prend en compte ni les naissances, ni les décès, ni les éventuels

mouvements de population. On suppose donc la population P constante. Le modèle va prévoir

les transferts entre compartiments, c'est-à-dire l'évolution de la maladie en calculant à chaque

instant le nombre de personnes dans chacun d'entre eux. Regardons comment calculer le passage du

compartiment S au compartiment I, c'est-à-dire comment une personne passe de "saine" à "infectée".

Le nombre maximal de contacts entre les catégories S et I est égal au produit S x I

En effet chaque personne saine peut rencontrer chaque personne infectée ; heureusement tous ces

contacts ne sont pas contagieux. Le modèle S.I.R. introduit le coefficient d'incidence beta qui

représente la force de contagion de la maladie et le risque qu'un contact soit infectieux. Le

nombre beta est supposé constant au cours du temps ; il est estimé pour chaque maladie

à partir des données collectées par les services de santé. Par exemple, il vaut 0,6 pour une grippe.

Ainsi le nombre instantané de nouveaux malades par jour pour une population de taille P est appelé

"l'incidence" ; elle est proportionnelle au nombre de contacts grâce à la formule suivante

S x I x beta / P. Par exemple pour une grippe et une population de 100.000 habitants, l'incidence vaut

S x I x 0,6 / 100 000. Une fois qu'une personne est infectée elle finit par être guérie et changer

de compartiment. La durée pendant laquelle elle est infectée et contagieuse est notée lambda. Dans notre

modèle on considère que c'est la même pour tout le monde et qu'elle ne varie pas au cours du temps.

Par exemple pour la grippe elle est de six jours. Ainsi toutes les personnes infectées le même jour

sont rétablie lambda jours plus tard. Il y a donc I nouvelles personnes dans le compartiment R.

Le nombre de nouveaux rétablis par jour vaut guérisons égales I / lambda. Grâce à

ces équations, il est donc possible d'imaginer des scénarios et de prévoir l'évolution de la maladie

au cours du temps. Pour cela il faut fixer la répartition dans les compartiments au début, puis

calculer à chaque instant leur nouvelle valeur. Ces calculs ne sont bien sûr pas faits à la main

mais par un ordinateur qui exécute un programme traduisant l'algorithme qui résout les équations.

Regardons cela de plus près en reprenant notre exemple précédent. Les symptômes de

notre maladie inconnue ressemblent un peu à ceux de la grippe et il n'y a qu'un seul patient zéro.

Voici des courbes auxquelles aboutissent ces données. Logiquement la population

des individus sains diminue au fur et à mesure qu'ils sont contaminés ; en parallèle

le nombre de personnes rétablies augmente, car de plus en plus de personnes sont guéries. Mais

c'est la courbe associée au compartiment des personnes infectées qui est la plus

intéressante : regardez comme elle s'élève avant de retomber. Ce pic c'est ce qu'on appelle le

pic de l'épidémie. Imaginons que toutes les personnes infectées soient hospitalisées ; si

ce pic monte trop haut, beaucoup de personnes sont infectées et hospitalisées en même temps,

ce qui peut entraîner une saturation des hôpitaux. Par exemple 40000 personnes sont

hospitalisées dans la ville de 100 000 habitants dont la capacité hospitalière est de seulement 10000 lits.

Pour aller plus loin, les épidémiologistes de notre ville utilisent également d'autres éléments pour

suivre l'évolution de l'épidémie, tels que le taux de reproduction de base appelée R0, c'est-à-dire le

nombre de personnes que risque de contaminer le patient 0 avant que l'épidémie ne démarre. R0 est

un seuil constant au cours du temps le pouvoir de contamination du patient 0 vaut environ beta

pendant sa durée lambda de contagion. Donc R0 vaut beta x lambda. Si R0 est inférieur à 1,

la maladie ne se propage pas ; par contre, si R0 est supérieur à 1 alors il y a un risque d'épidémie.

Dans notre cas la force de contagion bêta égale à 0,6 est multipliée par lambda qui

vaut 6, soit un R0 de 3,6. Ainsi, une fois l'infection commencée, de plus en plus de

personnes sont contaminées et la population susceptible d'être contaminée diminue.

Pour comprendre l'évolution, on utilise alors le taux de reproduction effectif "Reff" qui représente le

nombre total de personnes que risque de contaminer une personne infectée. Il est égal à R0 multiplié

par le taux de personnes encore saines dans la population donc susceptibles de tomber malade.

Reff est plus petit que R0 et contrairement à lui il varie au cours du temps. Ces taux de reproduction

sont d'excellents moyens de suivre l'évolution de l'épidémie. En effet, si Reff est plus grand

que 1, alors chaque personne infectée va pouvoir infecter plus d'une personne saine : le nombre de

cas va exploser. A contrario, que se passe-t-il si Reff est plus petit que 1 ? Chaque malade contamine

moins d'une personne saines, le nombre de cas à diminuer et l'épidémie va s'essouffler.

Reprenons notre exemple et regardons la courbe de Reff.

Sans surprise, elle diminue au cours du temps de la même façon que le pourcentage de personnes saines.

Tant que le pic d'épidémie n'est pas atteint - donc ici pendant les 30 premiers jours - le taux Reff est

plus grand que 1. Des personnes malades guérissent mais un plus grand nombre de personnes saines

tombent malades. Après le pic, Reff devient plus petit que 1 : la population a alors atteint une immunité

collective qui garantit que le pic d'épidémie est passé et le nombre total de malades diminueN au

fil des jours. En effet, le nombre de personnes saines donc susceptibles d'être contaminées, a

suffisamment baissé. En parallèle, un plus grand nombre de personnes sont rétablies et résistantes.

Bien que l'immunité collective soit atteinte après le pic d'épidémie, l'incidence n'est

pas nulle. Ainsi chaque jour des personnes tombent malades, mais un plus grand nombre encore guérissent.

Maintenant, comment faire diminuer ce pic d'épidémie et ainsi éviter à tout prix de

saturer nos services hospitaliers ? Eh bien déjà il y a les gestes barrières combinant notamment des

mesures d'hygiène et le port de masques ainsi qu'un confinement : les contacts entre les personnes sont

restreints ce qui diminue le pouvoir de contagion et donc le paramètre beta, le taux de reproduction

de base R0, et le taux de reproduction effectif Reff. Regardons leur impact sur les courbes. Imaginons

que des gestes barrières soient mis en place 20 jours après le début de l'épidémie. Grâce à

ces mesures, le paramètre beta passe de 0,6 à 0,5 ; le taux de reproduction diminue donc également.

On voit que le pic d'épidémie diminue, passant de 40 000 malades à 30459. Mais c'est encore

trop pour nos services hospitaliers. Mais que se passerait-il si les médecins découvraient

également des médicaments antiviraux ? Ceux-ci permettent de réduire la durée de contagion.

Le paramètre lambda devient donc plus petit et des taux de reproduction R0 et Reff, proportionnels

à lambda, diminuent aussi. Regardons la courbe de ce nouveau scénario : ici au 20e jour on ajoute

également des traitements médicaux qui diminuent lambda, le faisant passer de 6 à 3. Ainsi, grâce aux

traitements et aux gestes barrières, le pic est beaucoup moins élevé : 9270 malades. Les

services de santé peuvent ainsi mieux gérer la situation sanitaire dans ces conditions.

Dans la situation précédente, nous avons vu qu'il est possible de diminuer les taux de

reproduction R0 et Reff grâce au gestes barrières et aux traitements médicaux et

donc de diminuer le pic de l'épidémie ; mais celle-ci a quand même lieu. Alors

serait-il possible d'obtenir l'immunité collective dès le début de l'épidémie ?

Rappelons que l'immunité collective est atteinte lorsque le taux de reproduction

effectif Reff est plus petit que 1. Nous savons également qu'à chaque instant

Reff est le produit du taux de base R0 et du rapport S/P. Ainsi, atteindre l'immunité

collective équivaut à réduire le nombre S de personnes susceptibles, plus précisément

vérifier que Reff est inférieur à 1 équivaut à vérifier que S/P est inférieur à 1/RO

Or, réduire le pourcentage de personnes susceptibles dès l'apparition de la maladie

et le but de la vaccination. Une campagne de vaccination a été lancée dans la ville.

La population saine se divise alors : une partie susceptible d'être contaminée, l'autre a priori

protégée par la vaccination. Reprenons le modèle S.I.R. et introduisons un nouveau compartiment V pour les

personnes vaccinées. Une personne susceptible peut toujours tomber malade mais elle peut aussi être

vaccinée. Dans notre modèle, une personne vaccinée ne tombe pas malade et reste dans le compartiment

V. Ainsi le rapport S/P diminue soit par contamination soit par vaccination et le rapport V/P

appelé taux de couverture vaccinale augmente grâce à la vaccination. Revenons au premier jour

de la maladie de notre exemple précédent. Supposons par exemple que 40000 personnes

sont vaccinées donc 59 999 personnes saines sont susceptibles de tomber malades. Regardons la courbe

il y a toujours un pic d'épidémie mais il est moins haut que précédemment : seules 10830 personnes

sont malades au plus haut de l'épidémie. En effet on a 1/RO = 1 sur 3,6 [Musique]

Donc S/P est plus grand que 1/R0 et Reff est plus grand que 1

Augmentons le taux de couverture vaccinale V/P. Cette fois, faisons l'hypothèse que 73000

personnes sont vaccinées donc 2699 personnes saines sont susceptibles de tomber malades. C'est

gagné ! il n'y a pas de pic d'épidémie ! En effet S/P est donc plus petit que 1/R0 et Reff est

plus petit que 1. Les simulations suggèrent qu'avec un niveau de couverture vaccinale assez grand, le

nombre de malades n'augmente pas, la maladie ne se propage pas. Regardons cela de plus près. Plus il y

a de personnes vaccinées, moins il y a de personnes susceptibles de tomber malades. Mais alors, avec quel

taux de personnes vaccinées peut-on garantir cette immunité collective dès l'apparition de la maladie ?

Avec quelques calculs on vérifie que si la couverture vaccinale est suffisamment grande,

à savoir supérieur à 1 - 1/R0 alors le taux de population susceptible est plus petit que 1/R0.

Et c'est gagné ! il n'est pas nécessaire de vacciner toute la population mais le seuil est d'autant plus grand que le taux de reproduction de base R0 est grand. Dans notre exemple 1 - 1/R0

vaut 0,72 ; il suffit donc que 72% de la population soit vaccinés pour garantir l'immunité collective.

Dans le cas de la rougeole, beaucoup plus contagieuse, R0 vaut 16 donc environ 93% de la

population doit être vaccinée pour que l'immunité collective soit acquise. Ainsi même un modèle aussi

simple que S.I.R. permet de comprendre les principaux ressorts d'une épidémie. Bien évidemment celui-ci a

ses limites et ne traduit pas tous les phénomènes réels : il ne tient pas compte des morts, ni des

naissances, des déplacements dans l'espace, ni des périodes d'incubation ou des réinfections. De plus

on a émis l'hypothèse que la durée de contagion était constante et la même pour tout le monde.

Les chercheurs ont mis au point des modèles plus complexes pouvant aider à la prise de décision.

Pour identifier des paramètres de ces modèles, tels que beta et lambda dans le modèle S.I.R., les

scientifiques utilisent au quotidien les données collectées notamment par les agences de santé.

L'épidémie de COVID qui a démarré en 2019 a d'ailleurs permis de progresser dans la conception

de modèles, dans l'ajustement de leurs paramètres ainsi que dans la qualité de leurs prévisions.

Les modèles d'épidémie sont un formidable outil contribuant à la gestion d'une crise sanitaire.