LE COURS : Produit scalaire - Première
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bonjour dans cette vidéo je te propose
de revoir tout le cours sur le produit
scalaires l'objet de cette séquence est
de te rappeler et de t'expliquer les
éléments les plus importants de ce
chapitre plus précisément on peut on
parlera des différentes façons de
définir le produit scalaires avec le
cosinus avec la norme la projection ou
encore les coordonnées et on verra les
nombreuses propriétés du produit
scalaires pour préparer un contrôle ou
un examen ceci ne suffira évidemment pas
il faudra encore faire de nombreux
exercices en tout cas pour le court
c'est parti alors avant de définir
techniquement on va dire le produit
scalaires puisque je les dis on va voir
de nombreuses définitions du produit
scalaires on va voir qu'est-ce que c'est
à quoi il sert en fait ce produit
scalaires et bien le produit scalaires
comme son nom l'indiqué c'est un produit
c'est donc une opération alors pas une
opération avec n'importe quel élément
les éléments sont des vecteurs
on va faire des produits de vecteurs une
opération donc qu'on va définir on va en
étudier ses propriétés tout en sachant
que cette opération doit respecter en
même temps toutes les lois qu'on connaît
sur les vecteurs
alors pourquoi avoir mis en place un tel
outil et bien tout simplement pour
effectuer du calcul vectoriel et on sait
que le calcul vectoriel nous permet
d'effectuer des démonstrations en
géométrie démontré que de droite sont
parallèles que deux droites sont
perpendiculaires etc
alors avant d'apporter la première
définition du produit scanner on va
faire un petit rappel on va rappeler ce
que c'est que la norme d'un vecteur la
norme d'un vecteur et pour cela on va
avoir besoin d'un représentant du
vecteur mais alors voilà donc un vecteur
eu hélas donc un représentant du vecteur
eu donc c'est le vecteur qui se nomme ab
puisqu'il est construit à l'aide des
points a et b vient la norme du vecteur
eu que l'on note une antre des doubles
bar est tout simplement égal à la
longueur
un b on dit souvent la longueur d'un
vecteur bon ça peut passer
la longueur d'un vecteur ça s'appelle la
norme d'un vecteur et on retrouve bien
ici donc la distance qui va de a à b qui
correspond donc à la longueur de ses
flèches que j'ai un tout petit peu
effacée et arrive donc la première
définition du produit scalaires genre
j'aurais envie de dire
la définition c'est parce qu'on commence
pour définir le produit scalaires mais
on verra qu'il y aura d'autres façons de
définir le produit scalaires quatre ans
tout pour secours alors on se donne donc
deux vecteurs eu et v et on appelle le
produit scalaires de eu par v qui se
note
on le voit ici une points v le nombre
réel il faut bien entendre que un
produit scalaires de deux vecteurs
c'est un nombre un vrai nombre de 4
moins 8,3 qui est définie par us call
hervé égal à zéro si jamais l'un des
deux vecteurs nuls ok mais qui est
surtout égal à la norme 2 u convient de
définir à l'instant x la norme devait
multiplier pas le cosinus de l'angle
entre formé par les deux vecteurs
alors pour mieux comprendre cette
propriété et sur cette définition plus
tôt il est pas mal de la voir
justement avec des vecteurs hué v qui
sont représentés à l'aide de points
voici la situation alors j'ai donc mon
vecteur u qui est représentée ici par le
vecteur ab est le vecteur v qui est
représenté par le vecteur assez du coup
si je fais eu ce call hervé et bien
c'est comme si je faisais à b puisque eu
est égal à ab scalaires ac est là
maintenant je vais appliquer la
définition telle qu'elle nous est donné
mais cette fois ci avec les vecteurs ab
est assez ce qui donne normes de a b x
la norme de assez x le cosinus formé par
les vecteurs ab est assez du coup ça
serait cet angle là c'est à dire
l'angle b à c mais comme la norme de ab
c'est la longueur avait je peux hic ici
à b et la de même je peux écrire assez
et là ça commence à être beaucoup plus
lisible
parce que ab est assez on comprend bien
que ce sont des longueurs ce sont des
nombres ça pourrait être quatre et ici
six je ferai donc 4 x 6 et caussinus de
b à cc donc caussinus de l'angle b à ces
années ton que cet angle mesure 60
degrés et bien le cosinus de 60 degrés
serait égal à 0.5
donc je multiplierais par 0,5 on aurait
là donc véritablement un calcul la
longueur de ab on a dit quatre fois la
longueur de ab on a 10 6 x 0.5 on
trouverait un nombre et comme je les dis
juste avant le produit scalaires de deux
vecteurs
c'est bien un nombre réel alors arrive
maintenant quelques propriétés du
produit scalaires ce sont des propriétés
on va le voir qui finalement sont assez
naturel qui correspondent aux propriétés
qu'on connaît habituellement dans les
calculs sur les nombres réels et qui
vont nous servir à à faire des calculs
vectorielle comme je les dis avant la
première propriété c'est la propriété de
symétrie qui nous dit que finalement
faire le produit scalaires dans un sens
ou dans l'autre
ça nous renvoie le même nombre jusqu'à
l'ère v est égal à avait scalaires la
deuxième propriété ou plutôt les
deuxièmes propriétés sont donc les
propriétés de bi linéarité
on le voit ici donc pour la première une
scalaires vais plus w est égal à us call
hervé plus jusqu'à l'ère w ça ça nous
rappelle quelque chose
ça nous rappelle la formule de
distribuer tivité je les dis eh bien oui
on retrouve des propriétés qui
fonctionne sur les réelles pour les
vecteurs donc dans le cadre du produit
scanner et ensuite pu scalaires cas x v
et bien c'est pareil que cas fois
jusqu'à l'ère vais donc en gros le cas
le réel cas on peut le mettre on peut
l'associer aux eu
c'est pas marqué mais bon c'est dans la
continuité puisque il y à symétrie
on peut l'associer au v où on peut le
mettre devant comme ça nous arrange et
ensuite alors quelque chose de
formidablement connu quand on regarde
ces trois formules on al'impression déjà
de l'est connaît depuis longtemps
et oui ce sont les identités
remarquables les identités remarquables
fonctionne également sur les calcul
vectoriel et donc à l'aide du produit
scalaires quand je fais eu plus v le
tout au carré ça me donne une carré tous
derrière v carré et le terme du milieu
deux fois une fois v mais une fois v ça
se lit jusqu'à l'ère v on trouve notre
produit scalaires je lis pas les autres
ce sont les mêmes identités remarquables
que tu connais sont les réels alors
arrive ensuite tout doucement la
deuxième définition du produit scanner
mais avant elle il y a deux propriétés
qui sont liées et qui sont conséquence
des identités remarquables qu'on a vu
juste avant je te laisse les démontrer
tu verras très facilement par des
manipulations à jebri qu'en termes
d'équations tu va retomber donc son rôle
les identités remarquables ou dans
l'autre sens en partant des identités
remarquables qui tombera plus tôt là
dessus en tout cas on nous dit que le
produit scalaires jusqu'à l'ère v est
égal à 1,2 me facteur de normes du haut
carré plus normes devaient au carré -
nombre de u - v au carré et on a une
deuxième qui nous dit qu scalaires v est
égal à 1,2 me de hub de normes de le
plus vu au carré - venant du haut carré
- normes devaient au carré conséquence
de tout ça la propriété qui suit et
c'est celle ci qui nous intéresse à
bescat l'air assez égal à 1 2002 ab au