LE COURS : Produit scalaire - Première

[Rires]

[Musique]

bonjour dans cette vidéo je te propose

de revoir tout le cours sur le produit

scalaires l'objet de cette séquence est

de te rappeler et de t'expliquer les

éléments les plus importants de ce

chapitre plus précisément on peut on

parlera des différentes façons de

définir le produit scalaires avec le

cosinus avec la norme la projection ou

encore les coordonnées et on verra les

nombreuses propriétés du produit

scalaires pour préparer un contrôle ou

un examen ceci ne suffira évidemment pas

il faudra encore faire de nombreux

exercices en tout cas pour le court

c'est parti alors avant de définir

techniquement on va dire le produit

scalaires puisque je les dis on va voir

de nombreuses définitions du produit

scalaires on va voir qu'est-ce que c'est

à quoi il sert en fait ce produit

scalaires et bien le produit scalaires

comme son nom l'indiqué c'est un produit

c'est donc une opération alors pas une

opération avec n'importe quel élément

les éléments sont des vecteurs

on va faire des produits de vecteurs une

opération donc qu'on va définir on va en

étudier ses propriétés tout en sachant

que cette opération doit respecter en

même temps toutes les lois qu'on connaît

sur les vecteurs

alors pourquoi avoir mis en place un tel

outil et bien tout simplement pour

effectuer du calcul vectoriel et on sait

que le calcul vectoriel nous permet

d'effectuer des démonstrations en

géométrie démontré que de droite sont

parallèles que deux droites sont

perpendiculaires etc

alors avant d'apporter la première

définition du produit scanner on va

faire un petit rappel on va rappeler ce

que c'est que la norme d'un vecteur la

norme d'un vecteur et pour cela on va

avoir besoin d'un représentant du

vecteur mais alors voilà donc un vecteur

eu hélas donc un représentant du vecteur

eu donc c'est le vecteur qui se nomme ab

puisqu'il est construit à l'aide des

points a et b vient la norme du vecteur

eu que l'on note une antre des doubles

bar est tout simplement égal à la

longueur

un b on dit souvent la longueur d'un

vecteur bon ça peut passer

la longueur d'un vecteur ça s'appelle la

norme d'un vecteur et on retrouve bien

ici donc la distance qui va de a à b qui

correspond donc à la longueur de ses

flèches que j'ai un tout petit peu

effacée et arrive donc la première

définition du produit scalaires genre

j'aurais envie de dire

la définition c'est parce qu'on commence

pour définir le produit scalaires mais

on verra qu'il y aura d'autres façons de

définir le produit scalaires quatre ans

tout pour secours alors on se donne donc

deux vecteurs eu et v et on appelle le

produit scalaires de eu par v qui se

note

on le voit ici une points v le nombre

réel il faut bien entendre que un

produit scalaires de deux vecteurs

c'est un nombre un vrai nombre de 4

moins 8,3 qui est définie par us call

hervé égal à zéro si jamais l'un des

deux vecteurs nuls ok mais qui est

surtout égal à la norme 2 u convient de

définir à l'instant x la norme devait

multiplier pas le cosinus de l'angle

entre formé par les deux vecteurs

alors pour mieux comprendre cette

propriété et sur cette définition plus

tôt il est pas mal de la voir

justement avec des vecteurs hué v qui

sont représentés à l'aide de points

voici la situation alors j'ai donc mon

vecteur u qui est représentée ici par le

vecteur ab est le vecteur v qui est

représenté par le vecteur assez du coup

si je fais eu ce call hervé et bien

c'est comme si je faisais à b puisque eu

est égal à ab scalaires ac est là

maintenant je vais appliquer la

définition telle qu'elle nous est donné

mais cette fois ci avec les vecteurs ab

est assez ce qui donne normes de a b x

la norme de assez x le cosinus formé par

les vecteurs ab est assez du coup ça

serait cet angle là c'est à dire

l'angle b à c mais comme la norme de ab

c'est la longueur avait je peux hic ici

à b et la de même je peux écrire assez

et là ça commence à être beaucoup plus

lisible

parce que ab est assez on comprend bien

que ce sont des longueurs ce sont des

nombres ça pourrait être quatre et ici

six je ferai donc 4 x 6 et caussinus de

b à cc donc caussinus de l'angle b à ces

années ton que cet angle mesure 60

degrés et bien le cosinus de 60 degrés

serait égal à 0.5

donc je multiplierais par 0,5 on aurait

là donc véritablement un calcul la

longueur de ab on a dit quatre fois la

longueur de ab on a 10 6 x 0.5 on

trouverait un nombre et comme je les dis

juste avant le produit scalaires de deux

vecteurs

c'est bien un nombre réel alors arrive

maintenant quelques propriétés du

produit scalaires ce sont des propriétés

on va le voir qui finalement sont assez

naturel qui correspondent aux propriétés

qu'on connaît habituellement dans les

calculs sur les nombres réels et qui

vont nous servir à à faire des calculs

vectorielle comme je les dis avant la

première propriété c'est la propriété de

symétrie qui nous dit que finalement

faire le produit scalaires dans un sens

ou dans l'autre

ça nous renvoie le même nombre jusqu'à

l'ère v est égal à avait scalaires la

deuxième propriété ou plutôt les

deuxièmes propriétés sont donc les

propriétés de bi linéarité

on le voit ici donc pour la première une

scalaires vais plus w est égal à us call

hervé plus jusqu'à l'ère w ça ça nous

rappelle quelque chose

ça nous rappelle la formule de

distribuer tivité je les dis eh bien oui

on retrouve des propriétés qui

fonctionne sur les réelles pour les

vecteurs donc dans le cadre du produit

scanner et ensuite pu scalaires cas x v

et bien c'est pareil que cas fois

jusqu'à l'ère vais donc en gros le cas

le réel cas on peut le mettre on peut

l'associer aux eu

c'est pas marqué mais bon c'est dans la

continuité puisque il y à symétrie

on peut l'associer au v où on peut le

mettre devant comme ça nous arrange et

ensuite alors quelque chose de

formidablement connu quand on regarde

ces trois formules on al'impression déjà

de l'est connaît depuis longtemps

et oui ce sont les identités

remarquables les identités remarquables

fonctionne également sur les calcul

vectoriel et donc à l'aide du produit

scalaires quand je fais eu plus v le

tout au carré ça me donne une carré tous

derrière v carré et le terme du milieu

deux fois une fois v mais une fois v ça

se lit jusqu'à l'ère v on trouve notre

produit scalaires je lis pas les autres

ce sont les mêmes identités remarquables

que tu connais sont les réels alors

arrive ensuite tout doucement la

deuxième définition du produit scanner

mais avant elle il y a deux propriétés

qui sont liées et qui sont conséquence

des identités remarquables qu'on a vu

juste avant je te laisse les démontrer

tu verras très facilement par des

manipulations à jebri qu'en termes

d'équations tu va retomber donc son rôle

les identités remarquables ou dans

l'autre sens en partant des identités

remarquables qui tombera plus tôt là

dessus en tout cas on nous dit que le

produit scalaires jusqu'à l'ère v est

égal à 1,2 me facteur de normes du haut

carré plus normes devaient au carré -

nombre de u - v au carré et on a une

deuxième qui nous dit qu scalaires v est

égal à 1,2 me de hub de normes de le

plus vu au carré - venant du haut carré

- normes devaient au carré conséquence

de tout ça la propriété qui suit et

c'est celle ci qui nous intéresse à

bescat l'air assez égal à 1 2002 ab au